TRABALHO DE TRIGONOMETRIA MAT II NOITE

sábado, 21 de agosto de 2010

TRABALHO DE TRIGONOMETRIA MAT II NOITE

4° QUESITO

Medidas de Arcos de Circunferência

Na determinação dos arcos de uma circunferência podemos ter dois tipos de medições: a linear e a angular. A medida linear de um arco qualquer é a distância entre dois pontos A e B, postulados na extremidade da circunferência. Observe:

Com base na ilustração notamos que a medida do arco AB é igual à medida da reta EF (arco esticado), e a medida angular do arco AB corresponde à medida do ângulo central do arco, ou seja, a medida angular do arco AB é a mesma medida do ângulo central: m(AB) = m(AÔB). Para representar a medida angular de arcos de circunferência utilizamos as seguintes unidades: grau e radiano.

Graus

A medida em graus de uma circunferência consiste em dividi-lá em 360 partes congruentes entre si, dessa forma, cada parte equivalerá a um arco de medida igual a 1º (um grau). Se dividirmos esse arco de 1º em 60 partes teremos cada parte medindo 1’(um minuto) e esse arco de 1’ minuto dividido em 60 partes iguais formam arcos correspondentes a 1” (um segundo). Assim, concluímos que: 1º = 60’ e 1’= 60”.

Radianos

Outra unidade de medida de arcos muito usual é o radiano, que consiste no arco cujo comprimento é igual à medida do raio da circunferência que o contém. Por exemplo, um arco de 3 rad corresponde ao arco de comprimento igual a 3 raios da circunferência, veja:

Comprimento AB = 3r → m(AB) = m(AÔB) = 3 rad
Ao dividirmos o comprimento do arco (l) de uma circunferência pelo seu raio (r), determinamos a medida do ângulo central em radianos.

Existe uma relação entre as medidas em grau e radiano, podemos destacar a seguinte relação:

360º → 2π radianos (aproximadamente 6,28)
180º → π radiano (aproximadamente 3,14)
90º → π/2 radiano (aproximadamente 1,57)
45º → π/4 radiano (aproximadamente 0,785)

As medidas de arcos de circunferências em graus e em radianos são diretamente proporcionais, dessa forma podemos realizar as conversões utilizando uma regra de três simples:

Medida em graus	Medida em radianos
x	α
180	π

Exemplo:
Faça as seguintes transformações:
a) 100º em radianos
b) 7π/15 rad em graus

Identidade Trigonométrica

No estudo das funções trigonométricas pertencentes a um mesmo arco, utilizamos as seguintes relações trigonométricas fundamentais:

As relações trigonométricas fundamentais originam outras expressões, que são importantes e aplicáveis nos casos envolvendo funções de um mesmo arco. Veja as relações decorrentes das fundamentais:

Toda igualdade verificável envolvendo funções trigonométricas é denominada identidade trigonométrica. Observe as seguintes demonstrações:

Exemplo 1

Exemplo 2

Exemplo 3

Exemplo 4

Por Marcos Noé
Graduado em Matemática

Relações Trigonométricas Fundamentais

Pertencentes a um mesmo arco os valores das funções trigonométricas possuem relações denominadas trigonométricas. Veja as relações fundamentais:

Essas relações são fundamentais porque a partir de um valor de uma das razões de um arco qualquer, calculamos os valores das outras razões trigonométricas caso existam. Observe exemplos:


Exemplo 1

Dado o valor sen x = e determine o valor das demais funções trigonométricas:

Exemplo 2

Considere que , determine o valor de cotg x.

Forma Geral de Arcos Côngruos

Todos os arcos no círculo trigonométrico possuem determinações, isto é, tem origem e extremidade. Dois ou mais arcos podem ter a mesma determinação, mas não podemos garantir que eles possuam o mesmo comprimento, pois ocorre que eles podem possuir um número inteiro de voltas completas diferentes. Nesse caso devemos aplicar uma definição geral para representar arcos e todos os seus côngruos.

Se um arco mede α graus, podemos expressar todos os arcos côngruos a ele da seguinte forma: α + 360º*k, k Є Z. Caso a medida do ângulo do arco seja dada em radianos, representamos por: α + 2π*k, k Є Z.

A determinação principal de um arco que mede α (graus ou radianos) é dada de acordo com as definições: 0º ≤ α <> ou 0 ≤ α <>. No caso de um ângulo maior que 360º devemos realizar a divisão por 360º e considerar o resto o valor da determinação principal. O resultado da divisão mostrará quantas voltas o arco realizou. Observe:

Exemplo 1

Considerando o arco α = 2100º, qual será a sua determinação principal.

2100º : 360º = quociente 5 e resto igual a 300. Portanto, o arco possui determinação principal no 3º quadrante (300º), com 5 voltas completas.


Exemplo 2

Dado o arco 17π/4 rad, a sua determinação principal será:

17π/4 rad = 16π/4 + π/4 = 4π + π/4, onde:

4π = corresponde a duas voltas completas
π/4 = determinação principal (45º – 1º quadrante)


Exemplo 3

Calcule a determinação principal do arco 26π/3 rad.

26π/3 rad = 6π/3 + 6π/3 + 6π/3 + 6π/3 + 2π/3 = 24π/3 + 2π/3 = 8π + 2π/3

8π = quatro voltas completas.
2π/3 = determinação principal (120º – 2º quadrante)


Exemplo 4

Determine a expressão geral dos arcos trigonométricos côngruos aos arcos de:

a) 3π/4 rad = 3π/4 + 2π * k, k Є Z

b) 75º = 75º + 360º * k, k Є Z

c) 14π/3 rad = 12π/3 + 2π/3

2π/3 + 2π * k, k Є Z

d) 1220º = 360º + 360º + 360º + 140º

140º + 360º * k, k Є Z

A Magia de Pitágoras

Teorema de Pitágoras: uma das mais importantes relações da Matemática

Pitágoras de Samos é considerado um dos grandes gênios da Matemática, principalmente na área ligada à Geometria. Além de filósofo, foi o fundador da escola pitágorica, e criou uma das mais importantes ferramentas da Matemática: o denominado Teorema de Pitágoras. Essa descoberta estabelece uma relação existente no triângulo retângulo (aquele que possui ângulo de 90º), que diz: “o quadrado da hipotenusa é igual à soma dos quadrados dos catetos”. A aplicação deste Teorema é de grande importância para o desenvolvimento de inúmeras situações ligadas à área de exatas. O correto desenvolvimento do Teorema exige um conhecimento dos elementos de um triângulo retângulo, os catetos formam o ângulo de 90º (ângulo reto, por isso o nome triângulo retângulo) e a hipotenusa é o lado oposto ao ângulo reto, observe o triângulo a seguir:

No triângulo ABC, os lados b e c são os catetos e a é a hipotenusa.



Exemplo 1
De acordo com o Teorema de Pitágoras, determine o valor do segmento x nos triângulos a seguir:
a)



x² = 5² + 12²
x² = 25 + 144
x²= 169
√x² = √169
x = 13


b)

x² + 8² = 10²
x² + 64 = 100
x² = 100 – 64
x² = 36
√x² = √36
x = 6


Exemplo 2
Um fio de aço foi esticado do topo de um poste até a superfície, de acordo com a indicação da figura, determine o comprimento do fio de aço.

Resolução:
Note que o ângulo formado entre o poste e a superfície é igual a 90º, dessa forma podemos aplicar o Teorema de Pitágoras, considerando que o comprimento do fio representa a hipotenusa do triângulo.

x² = 30² + 50²
x² = 900 + 2500
x² = 3400
√x² = √3400
x = 58,3095 (aproximadamente)

A medida do comprimento do fio de aço será de, aproximadamente, 58,3 metros.

Área de um triângulo com base na trigonometria

Sabemos que o cálculo da área de um triângulo é o produto da base pela altura dividida por dois. Mas quando o triângulo não fornece a base ou a altura é preciso utilizar de alguns artifícios como o que a trigonometria oferece.

Caso o triângulo ofereça o valor de um de seus ângulos e os valores de dois lados, podemos aplicar o cálculo do seno para encontrar o valor de sua área.

Veja abaixo a relação dessas fórmulas:

Considere o triângulo ABC e seus respectivos lados a, b, c e ângulos.



Dependendo do lado e ângulo que for considerado devemos utilizar uma fórmula diferente.

• Considerando o ângulo Â, iremos utilizar o sen  e os lados b e c.
A = b . c . sen Â
2

• Considerando o ângulo , iremos utilizar o sen e os lados a e b:
A = a . b sen Ĉ
2

• Considerando o ângulo , iremos utilizar o sen e os lados a e c:
A = a . c sen B
2

Medidas de Ângulos

Consideramos o Grau como a unidade de medida de ângulos mais usual em nosso cotidiano. Nos estudos relacionados ao círculo trigonométrico trabalhamos com outra unidade de medida de ângulos, o radiano. Existe uma relação entre as medidas em grau e as medidas em radianos. Vamos demonstrar tal relação baseando em algumas definições do círculo trigonométrico.

Uma volta completa no círculo trigonométrico corresponde, em graus, a 360º e em radianos, 2π, pois no caso de medida de ângulo, o valor de π (pi) passa a ser referente a 180º. Dessa forma, se temos um ângulo na unidade grau podemos transformá-lo para a unidade radiano e vice-versa por meio da aplicação de uma simples regra de três.

Exemplo 1

Transformar 60º em radianos.




Exemplo 2

Transformar 110º em radianos



Exemplo 3



Exemplo 4

No círculo trigonométrico existem alguns ângulos notáveis, isto é, valores que estão presentes com maior frequência em situações problemas. A tabela a seguir relaciona as unidades de medida, graus e radianos.

O Teorema de Pitágoras Aplicado no Estudo da Trigonometria

Os estudos trigonométricos possuem uma relação muito importante com o Teorema de Pitágoras, pois através de sua aplicação determinamos valores de medidas desconhecidas. O teorema de Pitágoras é uma expressão que pode ser aplicada em qualquer triângulo retângulo (triângulo que tem um ângulo de 90°).

a = hipotenusa
b = cateto
c = cateto

O teorema de Pitágoras diz que o quadrado da hipotenusa é igual à soma dos quadrados dos catetos.

a² = b² + c²

Podemos utilizar esse teorema para facilitar o cálculo da diagonal de um quadrado e altura de um triângulo equilátero (triângulo com os lados iguais).

Diagonal do quadrado.

O quadrado ABCD é uma figura que possui lados iguais e ângulos com medidas iguais a 90º graus.

O cálculo da sua diagonal (reta que parte do ponto B ao C ou do A ao D) será feito da seguinte forma:

Como não conhecemos o valor dos lados iremos chamá-los de l. A diagonal forma no quadrado um triângulo retângulo ACD e é a partir daí que iremos calcular o valor da diagonal.

Aplicando o teorema de Pitágoras (d é a hipotenusa e l são os catetos), teremos:

Portanto, a diagonal do quadrado pode ser calculada por:

d = l √2


Altura do triângulo equilátero

Dado um triângulo equilátero ABC, com lados e ângulos iguais.

Traçando uma reta que parte de A e é perpendicular ao segmento BC teremos a altura desse triângulo (h). Os lados serão chamados de l. Como todos os lados são iguais, a reta AH irá dividir a base BC em duas partes iguais.

Traçando a altura no triângulo equilátero formaremos um triângulo retângulo AHC.

A partir daí encontraremos o valor da altura do triângulo equilátero que coincide com o cateto do triângulo retângulo.

Portanto, a altura do triângulo equilátero será calculada por:

Aplicações da Trigonometria

A trigonometria possui inúmeras aplicações nos diversos ramos da ciência, sendo considerada uma importante aliada do mundo moderno.
Observe os exemplos a seguir:

Exemplo 1
Ao decolar, um avião sobe formando um ângulo de 30º com a pista (horizontal). Na direção do percurso existe uma torre de transmissão de energia elétrica situada a 3km do aeroporto e com altura igual a 150 metros. Verifique se, mantendo o trajeto, o avião pode colidir com a torre.

Esquema da situação:

Usaremos a relação da tangente

O avião não irá colidir com a torre, pois essa possui 150 metros enquanto o avião estará a uma altura de 1700 metros.

Exemplo 2
Do ponto A, uma pessoa observa o topo de uma torre sob um ângulo de 60º. Determine a altura da torre, sabendo que a pessoa está a 20 metros dela.

A torre tem 34 metros de altura.

Exemplo 3
Uma inclinação tem 40 metros de comprimento e forma com o plano horizontal um ângulo de 30º. A que altura está situado o ponto mais alto da inclinação?

O ponto mais alto da inclinação está situado a 20 metros do solo.

Razões Trigonométricas

O surgimento da trigonometria está ligado à necessidade do homem relacionar ângulos a distâncias pouco acessíveis. A ferramenta auxiliar utilizada para o desenvolvimento da trigonometria é o triângulo, onde relações particulares entre os ângulos e a medida de seus lados foram estabelecidas. Esse estudo recebeu o nome de razões trigonométricas denominadas seno, cosseno e tangente.
Essas razões são aplicadas ao triângulo retângulo, aquele que possui um ângulo retângulo medindo 90º. Observe exemplo:

Nesse triângulo, os lados recebem nomes especiais, que são utilizados na formação das razões trigonométricas. Na ilustração vamos nomear os lados utilizando o ângulo B de 90º. Os lados representados por a e c são denominados catetos e o lado oposto ao ângulo reto é denominado hipotenusa. Dizemos que a hipotenusa é o lado de maior comprimento do triângulo retângulo.

Nomeando os lados com referência ao ângulo C, temos que o cateto c será oposto e o cateto a será adjacente. Fazendo referência ao ângulo A, temos que o cateto oposto será a e o cateto adjacente será c.


Dessa forma, o cálculo do seno e cosseno seria a razão entre o cateto oposto e o cateto adjacente com a hipotenusa, e a tangente seria a razão entre o seno e o cosseno. Levando em consideração o ângulo Â, podemos dizer que: