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sábado, 14 de agosto de 2010

QUESTÕES DE TRIGONOMETRIA RESOLVIDAS

1- SENDO TETA UM ÂNGULO AGUDO E UM TRIÂNGULO RETÂNGULO QUALQUER, SABE-SE QUE O SENO DE TETA É IGUAL 0.6.
DETERMINE O COSSENO E A TEANGENTE DE TETA.

senθ =6/10 ou 3/5 (co/hip)

hip² =co²+ca²
5² =3²+ca²
ca² =25-9
ca²=16
ca = 4

cosθ =ca/hip = 4/10 ou 0,4

tgθ =co/ca ou senθ/cosθ
tgθ = 3/4 = 0,75



2-
Um avião levanta vôo em B, e sobe fazendo um ângulo de canstante de 15° com a horizontal. A que altura estará e qual a distância percorrida quando passar pela vertical que passa por uma igreja situada a 2 km do ponto de partida?
dados sen 15°=0,26 tg 15°=0,27

Fazendo um desenho simples temos um triângulo retângulo onde:

D = distância percorrida -> hipotenusa do triângulo

T = 2 km -> catero maior

H = altura do avião a partir da igreja -> cateto menor

então:

sen 15° = H/D => 0,26 = H/D => H = 0,26*D

tg 15° = H/2 => 0,27 = H/2 => H = 2*0,27 => H = 0,54

logo:

D = 0,54/0,26 => D = 2,07 km



3 -
caminhando em linha reta ao longo deuma praia,um banhista vai de um ponto A a um ponto B,cobrindo a distancia AB=1200m, quando em A, ele avista um navio parado no ponto N de tal maneira que o ângulo NÂB é de 60°; e quando em B,verifica que o ângulo NBA é de 45°
calcule a distância em que se encontra o navio da praia.
obs. a letra B não aceita o o acento circunflexo indicando o angulo NBA.






4 -

5-



6 - O ângulo convexo formado pelos ponteiros das horas e dos minutos às 10 horas e 15 minutos é:

Se o ponteiro das horas estivesse exatamente sobre o "10", o ângulo entre ele e o ponteiro dos minutos seria de 150°. Basta contar, a partir do "10", no sentido horário: "11","12","1","2" e "3". Como cada ãngulo desses mede 30°, 5 ângulos somarão 150°. Mas, o problema é que o ponteiro das horas andou um pouco enquanto o dos minutos andou 90°. O ponteiro das horas andou 1/12 do dos minutos, ou seja, 90°/12=7,5°.

Assim, o ângulo entre os ponteiros não é 150°, mas, sim, 150°-7,5°=142,5°.



7 - Calcular o valor de seno, cosseno e tangente do angulo alpha no triangulo retangulo, cuja a hipotenuza é 4, cateto oposto é 2 e o cateto adjacente é 2 raiz de 3. Só que o angulo no triangulo é reto em cima.

Sabendo que:
- sen (x) = cateto oposto / hipotenusa
- cos (x) = cateto adjacente / hipotenusa
- tg (x) = sen (x) / cos (x)

sen (x) = 2/4 = 1/2 <=> sen^[-1] (1/2) = π/6 --> ângulo alfa
cos (x) = 2√3 / 4 = √3 / 2 <=> cos^[-1] (√3/2) = π/6 --> ângulo alfa
tg (x) = (1/2)/ √3/2 = 1/√3


8 - 1)Qual é o comprimento de um arco de medida de 3 radianos, contido em uma circunferencia cujo diametro mede 20 metros?

2)Transformando 7°30' em radianos se tem?


A) ∏ = pi e y = ângulo
O arco AB
Fórmula
AB = ∏.r.y / 180°
3∏ = ∏. 10. y/180°
180°. 3∏ = 10. ∏. y
540°. ∏ = 10. ∏. y
y = 540°. ∏ / 10. ∏
y = 54° este é o ângulo do arco AB
logo
54° está para x
assim como 180° está para ∏ logo:
180°. x = 54°. ∏
x = 54°. ∏ / 180°
x= 0,3. ∏ então o comprimento do arco AB é:
Cab = 0,3. ∏
Cab = 0,3. 3,14
Cab = 0,942 cm

B)
7°30' = 7,5° logo:
7,5° está para X
assim como 180° está para ∏ então
180°. X = 7,5°. ∏
X = 7,5°. ∏ / 180°
X = 7,5∏ rad/ 180
ou X é aproximado a 0,416∏ radianos


9)

NUM TRIANGULO RETANGULO DE HIPOTENUSA 10 cm, AS MEDIDAS DOS CATETOS ESTAO NA RAZAO DE 1 PARA 3.?

DETERMINE AS MEDIDAS DAS PROJEÇÕES DOS CATETOS NA HIPOTENUSA.

a =10
b/c =1/3 → c = 3b

a² =b²+c²
100 =b²+9b²
10b² =100
b =√10
c=3√10

Projeções sobre a hipotenusa:
b² = a.m
10 =10m
m=1cm

c² =a.n
90 =10n
n=9 cm


10 )

A ALTURA RELATIVA A HIPOTENUSA DETERMINA SOBRE ELA SEGMENTOS DE MEDIDAS 3cm e 4 cm.

QUANTO MEDEM OS CATETOS DESSE TRIANGULO?


m=3 e n=4

a=m+n = 7

b² =a.m
b² =7(3)
b =√21

c² =a.n
c² =7(4)
c=√28 = 2√7



11) MOSTRE QUE EM TODO TRIANGULO RETANGULO, A DIFERENÇA ENTRE OS QUADRADOS DOS CATETOS É IGUAL AO PRODUTO DA HIPOTENUSA PELA DIFERENÇA ENTRE AS PROJEÇÕES DOS RESPECTIVOS CATETOS SOBRE A HIPOTENUSA.

http://4.bp.blogspot.com/_Qcwle0T8Iu4/RxVuNAaIcyI/AAAAAAAAAJw/Zne06IWv4QI/s320/pitha1-02.gif

a prova é uma imagem onde ele mostra que a soma área dos quadrados menores é igual a área do quadrado maior, sendo que os lados dos quadrados são os lados do triângulo


.....................................12)Qual a medida, em graus, do ângulo de 1 radiano? Qual a medida, em radianos, do ângulo de 1 grau.

Logo, . Portanto, 1 radiano corresponde a aproximadamente 57o.

O raio r é unitário; tem 1umc.
O comprimento do arco AB é 1 umc.

O ângulo tem 1 radiano.

O arco AB tem 1 radiano.

Por outro lado, temos:

Logo, ou seja, 1o corresponde a aproximadamente a 0,017 rad.




13) Como se relaciona a medida em graus e em radianos de um mesmo arco na circunferência trigonométrica?


Dado um arco, com ao temos:

de onde,

rad

Por outro lado, dado um arco, com x rad, temos:

de onde



14)Calcule em radianos: 30o, 60o, 75o, -120°, 136°, 1360°, -1360°.



Pelo Exercício 2, já sabemos que a medida a em graus se relaciona com a medida x em radianos. Colocando: rad, temos:

Quando a = 30º, temos

Quando a = 60º, temos

Quando a = 75º, temos

Quando a = -120º, temos

Quando a = 136º, temos

Quando a = 1360º, temos

Quando a = -1360º, temos


15)Calcule em graus:

3 rad, rad, rad, rad, 8 rad.


já sabemos que a medida a em graus, se relaciona com a medida x em radianos. Colocando: , temos:

Quando x=3 rad, temos

Quando x= rad, temos

Quando x= rad, temos

Quando x= rad, temos

Quando x=8 rad, temos

16)Calcule qual a medida em radianos do ângulo formado pelos ponteiros do relógio às 13h 15min.


O ponteiro das horas: em 1 hora, isto é, em 60 minutos, se desloca
30º = rad.

Então, em 15 min, o ponteiro das horas se desloca rad.

O ponteiro dos minutos: em 1 hora, isto é, em 60 minutos, se desloca
360º = 2 rad.

Então, em 15 min, o ponteiro dos minutos se desloca 90o = rad.

Portanto, em radianos, o ângulo procurado é:



17)Calcule qual a medida em graus do ângulo formado pelos ponteiros do relógio às 15h 15min.

a cada hora, o ponteiro das horas se desloca 30o. E, portanto, em 15 minutos, ele se desloca 7o30'.
Já o ponteiro dos minutos se desloca 90o em 15 minutos.
Logo, o ângulo entre os dois ponteiros é de 7o30', às 15h e 15min.



18)Qual o comprimento do arco descrito pelo ponteiro dos minutos de um relógio cujo mostrador tem 5 cm de diâmetro, após ter passado 1 hora?

Como o diâmetro do relógio é de 5 cm, temos que o raio é 2,5 cm.

Após 1 hora, o ponteiro dos minutos descreve um ângulo de uma volta no relógio, ou seja, o arco descrito é um arco de uma volta.

Assim, o comprimento desse arco é cm.


19)Quantas voltas serão dadas na circunferência trigonométrica para se representar os números e -12?


Dado o número real , temos:



Portanto, para representa-lo será necessário dar uma volta inteira e mais um doze avos de meia volta, no sentido positivo de percurso, isto é, no sentido anti-horário.

Por outro lado, dado o número real -12, temos: , ou seja, será dada, aproximadamente, uma volta inteira e mais 0,91 de volta no sentido horário, já que o número dado é negativo.



20)Se um ponto P da circunferência trigonométrica corresponde a um número x real, qual é a forma dos outros números que também correspondem a esse mesmo ponto?


Dado um número real x, fica determinado um ponto P da circunferência trigonométrica, de modo que o comprimento do arco AP, bem como a medida em radianos do arco AP, é x. Qualquer outro número real que difira do número x, por um número inteiro de vezes , irá corresponder a esse mesmo ponto P.

Assim, a forma dos outros números que também correspondem a esse mesmo ponto é .







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